Metoda celor mai mici patrate

Metoda celor mai mici patrate (MCMMP) este folosita pentru a rezolva cu aproximare sisteme liniare in care numarul de ecuatii este mai mare decat numarul de necunoscute. MCMMP este des folosita in calcule statistice, in special in analiza de regresie.

MCMMP poate fi interpretata ca o metoda de potrivire a datelor. Cea mai buna potrivire in sensul celor mai mici patrate este acel model pentru care suma patratelor valorilor reziduale este minima, o valoare reziduala fiind diferenta dintre o valoare bazata pe observatie si o valoarea data de un model. Metoda a fost descrisa pentru prima data de Carl Friedrich Gauss in jurul anului 1794. MCMMP corespunde criteriului de risc maxim daca erorile experimentale au o repartitie normala si, totodata, poate fi interpretata ca o metoda de estimare a momentelor.

Metoda celor mai mici patrate isi are originile pe taramul astronomiei si geodeziei, in incercarea oamenilor de stiinta si a matematicienilor de a oferi solutii de navigatie pe oceane in trimpul erei marilor descoperiri geografice. Descrierea precisa a comportamentului corpurilor ceresti a fost cheia ce a deschis calea navigatiei pe oceane, unde marinarii nu mai aveau posibilitatea de a se ghida dupa pozitia uscatului. MCMMP reprezinta punctul culminant al unor cercetari ce au avut loc in timpul secolului XVIII.

Carl Friedrich Gauss este cel ce a pus bazele metodei celor mai mici patrate in 1795, la varsta de 18 ani. O prima demonstratie a puterii metodei lui Gauss a aparut cand a fost folosita la prezicerea pozitiei viitoare a nou-descoperitului asteroid Ceres. Pe 1 ianuarie 1801, astronomul Giuseppe Piazzi a descoperit asteroidul Ceres si a reusit sa-i urmareasca traiectoria timp de 40 de zile, inainte de a-l pierde in stralucirea soarelui. Bazandu-se pe aceste date, s-a dorit aflarea pozitiei lui Ceres dupa va aparea din spatele soarelui, fara a rezolva complicatele ecuatii neliniare ale lui Kepler privind miscarea planetelor. Singurele predictii care i-au permis astronomului maghiar Franz Xaver von Zach sa determine cu succes pozitia lui Ceres au fost cele realizate de Gauss, folosind analiza metodei celor mai mici patrate.

Gauss a publicat metoda abia in 1809, cand a aparut in volumul doi al operei sale pe tema mecanicii ceresti, „Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium”. In 1829, Gauss a putut sa afirme ca apropierea dintre metoda celor mai mici patrate si analiza de regresie este optima in sensul ca, intr-un model liniar in care erorile sunt necorelate, au media zero si dispersii egale, cele mai bune estimatoare liniare nedeplasate ale coeficientilor sunt estimatoarele bazate pe MCMMP. Rezultatul este cunoscut drept Teorema Gauss-Markov.

(…va urma)

4 Răspunsuri to “Metoda celor mai mici patrate”

  1. Frumoasa prezentare!
    A existat vreo urmare a acestui articol?
    Numai bine!

  2. Kovacs Andrei Says:

    Metoda simpla, dar ce multe lucruri poate rezolva.

  3. Today, while I was at work, my sister stole my iPad and tested
    to see if it can survive a twenty five foot drop, just so she can be a youtube sensation.
    My iPad is now broken and she has 83 views. I know this
    is entirely off topic but I had to share it with someone!

Lasă un răspuns

Completeaza detaliile de mai jos sau apasa click pe una din imagini pentru a te loga:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Schimbă )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Schimbă )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Schimbă )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Schimbă )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: